3.5. Regla de la cadena

3.5.1. Matriz jacobiana y regla de la cadena

La noción de matriz jacobiana, junto con la de regla general de la cadena, nos va a permitir calcular las derivadas parciales de una composición de funciones diferenciables.

Theorem (Diferenciabilidad de una función compuesta)

Sean \(\mathbf{F}: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) y \(G: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}\) dos funciones tales que \(\mathbf{F}(D) \subset \mathbb{R}^m\). Sea \(\mathbf{a} \in D\) tal que \(\mathbf{F}\) es diferenciable en \(\mathbf{a}\) y \(G\) es diferenciable en \(\mathbf{F}(\mathbf{a})\). Entonces la función compuesta \(G \circ \mathbf{F}\) es diferenciable en \(\mathbf{a}\) y a partir de la regla general de la cadena se tiene:

\[ \mathrm{J}(G \circ \mathbf{F}) (\mathbf{a}) = \mathrm{J}G(\mathbf{F}(\mathbf{a})) \; \mathrm{J}\mathbf{F}(\mathbf{a}), \]

donde \(\mathrm{J}G = \left[\frac{\partial G}{\partial \overline{x}_{1}}, \frac{\partial G}{\partial \overline{x}_{2}}, ... , \frac{\partial G}{\partial \overline{x}_{m}}\right]\) es la matriz jacobiana de \(G\), y

\[\begin{split} \mathrm{J}\mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} & ... & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} & ... & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{2}} & ... & \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{n}} \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

es la matriz jacobiana de \(\mathbf{F}\).

NOTA 1: Recuerda que para una función \(G: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}\), la matriz jacobiana es igual a la transpuesta del gradiente. Por tanto, a partir de la igualdad anterior, tenemos que

\[ \mathrm{J}(G \circ \mathbf{F}) (\mathbf{a}) = (\mathbf{\nabla}G)^\mathrm{t} (\mathbf{F}(\mathbf{a})) \; \mathrm{J}\mathbf{F}(\mathbf{a}). \]

NOTA 2: La regla de la cadena para el caso multivariable es una generalización de la regla de la cadena para una variable. Si \(n = m = 1\), tal que \(a \in \mathbb{R}\), \(\mathbf{F}: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), entonces

\[ \mathrm{J}(G \circ F) (a) = \mathrm{J}G(F(a)) \; \mathrm{J}F(a) = G'(F(a))\; F'(a). \]

Aunque no lo haremos así, os dejamos un par de remarks, por si lo veis en algún libro y os llama la atención:

Remark (Regla de la cadena para una variable independiente)

Sea \(w = G(x_1,x_2,...,x_m)\), donde \(G\) es una función diferenciable de las \(m\) variables \(x_1, x_2, ... , x_m\). Si cada una de las \(x_j = F_j(t)\) es una función diferenciable de \(t\), entonces \(w\) es una función diferenciable de \(t\), y

\[ \frac{dw}{dt} = (\mathbf{\nabla}G)^\mathrm{t} (\mathbf{F}(t)) \; \mathrm{J}\mathbf{F}(t) = \frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dt} + \frac{\partial w}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dt} + ... + \frac{\partial w}{\partial x_m}\frac{dx_m}{dt}. \]

Remark (Regla de la cadena para dos variables independientes)

Sea \(w = G(x_1,x_2,...,x_m)\), donde \(G\) es una función diferenciable de las \(m\) variables \(x_1, x_2, ... , x_m\). Si cada una de las \(x_j = F_j(s,t)\) es una función diferenciable de \(s\) y \(t\), entonces \(w\) es una función diferenciable de \(s\) y \(t\), y

\[\begin{split} \begin{bmatrix} \frac{\partial w}{\partial s}\\ \frac{\partial w}{\partial t}\\ \end{bmatrix} = (\mathbf{\nabla}G)^\mathrm{t} (\mathbf{F}(s,t)) \; \mathrm{J}\mathbf{F}(s,t) = \begin{bmatrix} \frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial s} + \ldots + \frac{\partial w}{\partial x_m}\frac{\partial x_m}{\partial s}\\ \frac{\partial w}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t} + \ldots + \frac{\partial w}{\partial x_m}\frac{\partial x_m}{\partial t} \end{bmatrix} \end{split}\]

3.5.2. Ejemplo una variable

Consideramos la composición de funciones:

\[\begin{split} \begin{array}{ccccc} \mathbb{R} & \stackrel{\mathbf{F}}{\longrightarrow} & \mathbb{R}^{2} & \stackrel{G}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\ t &\to & \mathbf{F}(t) = \begin{bmatrix} x=\sin(t) \\ y=e^{t} \end{bmatrix} & \to & G(x,y) = x^2y-y^2 \end{array} \end{split}\]

Vamos a calcular el jacobiano de esta composición. Recordemos que

\[ \mathrm{J}\left( G\circ\mathbf{F}\right)(t) = \mathrm{J}G(\mathbf{F}(t)) \; \mathrm{J}\mathbf{F}(t). \]

Vamos a calcular cada uno de los factores de este producto:

\[\begin{split} \mathrm{J}\mathbf{F}(t) = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial t} (t) \\ \\ \frac{\partial y}{\partial t} (t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(t) \\ \\ e^t \end{bmatrix}. \end{split}\]

El segundo factor es:

\[ \mathrm{J}G(x,y) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x} (x,y) & \dfrac{\partial G}{\partial y} (x,y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xy & x^2-2y\end{bmatrix}, \]

entonces:

\[ \mathrm{J}G (\mathbf{F}(t)) = \mathrm{J}G \left( \sin(t), e^{t} \right) = \begin{bmatrix} 2\sin(t) e^{t} & \sin^2(t)-2e^{t}\end{bmatrix}. \]

Y, por lo tanto,

\[\begin{split} \mathrm{J}\left( G\circ\mathbf{F}\right)(t) = \begin{bmatrix} 2\sin(t) e^{t} & \sin^2(t)-2e^{t}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(t) \\ \\ e^t \end{bmatrix} = 2e^{t}\sin(t)\cos(t) + e^{t}\sin^{2}(t)-2e^{2t}. \end{split}\]

Ya estaría, pero vamos a hacerlo por otro camino: vamos a construir explícitamente la función composición y a derivarla:

\[ t \stackrel{\mathbf{F}}\longrightarrow \left(\sin(t),e^{t}\right) \stackrel{G}{\longrightarrow} e^{t}\sin^{2}(t)-e^{2t}, \]

y, derivando directamente,

\[ \mathrm{J}\left( G\circ\mathbf{F}\right)(t) = \frac{d}{dt}\left(e^{t}\sin^{2}(t)-e^{2t}\right) = e^{t}\sin^{2}(t) + 2 e^{t}\sin(t)\cos(t) - 2e^{2t}. \]

¡¡Da lo mismo de las dos maneras!! I can’t believe it!!

3.5.3. Ejemplo de dos variables

Consideramos la composición de funciones:

\[\begin{split} \begin{array}{ccccc} \mathbb{R}^{2} & \stackrel{\mathbf{F}}{\longrightarrow} & \mathbb{R}^{2} & \stackrel{G}{\longrightarrow} & \mathbb{R} \\ \begin{bmatrix} r \\ \theta \end{bmatrix} &\to & \mathbf{F}(r,\theta) = \begin{bmatrix} x=r\cos(\theta) \\ y=r\sin(\theta) \end{bmatrix} & \to & G(x,y) = x^2 + y^2 \end{array} \end{split}\]

Vamos a calcular el jacobiano de esta composición. Recordemos que

\[ \mathrm{J}\left( G\circ\mathbf{F}\right)(r,\theta) = \mathrm{J}G(\mathbf{F}(r,\theta)) \; \mathrm{J}\mathbf{F}(r,\theta). \]

Vamos a calcular cada uno de los factores de este producto:

\[\begin{split} \mathrm{J}\mathbf{F}(r,\theta) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\ \\ \sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{bmatrix}. \end{split}\]

El segundo factor es:

\[ \mathrm{J}G(x,y) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x} & \dfrac{\partial G}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x & 2y \end{bmatrix}. \]

Entonces:

\[ \mathrm{J}G (\mathbf{F}(t)) = \mathrm{J}G \left( r\cos(t), r\sin(\theta) \right) = \begin{bmatrix} 2r\cos(\theta) & 2r\sin(\theta) \end{bmatrix}. \]

Y, por lo tanto,

\[\begin{eqnarray*} \mathrm{J}\left( G\circ\mathbf{F}\right)(t) &=& \begin{bmatrix} 2r\cos(\theta) & 2r\sin(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\ \\ \sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{bmatrix} \\ \\ &=& \begin{bmatrix} 2r\cos^{2}(\theta) + 2r\sin^2(\theta) & -2r^2\sin(\theta)\cos(\theta) + 2r^2\sin(\theta)\cos(\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2r & 0 \end{bmatrix}. \end{eqnarray*}\]

Como en el ejemplo anterior, vamos a construir explícitamente la función composición y a calcular su jacobiano:

\[ (r,\theta) \stackrel{\mathbf{F}}\longrightarrow \left(r\cos(\theta), r\sin(t)\right) \stackrel{G}{\longrightarrow} r^{2}\cos^{2}(\theta) + r^{2}\sin^{2}(\theta), \]

y, derivando directamente,

\[ \mathrm{J}\left( G\circ\mathbf{F}\right)(r,\theta) = \begin{bmatrix} \dfrac{(G\circ\mathbf{F})}{\partial r} (r,\theta) & \dfrac{(G\circ\mathbf{F})}{\partial \theta} (r,\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2r & 0\end{bmatrix}. \]

Again… ¡¡Da lo mismo!! ¡¡GUAU, GUAU, GUAUUUU!!

3.5.4. Jacobiano de la composición de funciones con sympy

Retomamos este último ejemplo para resolverlo ayudados por sympy. A ver si vuelve a dar lo mismo… aunque ya sería mucha suerte, ¿no?

import sympy as sp

x, y, r, t = sp.symbols('x y r t', real=True) 

# Definimos las funciones F y G como matrices
F = sp.Matrix([r*sp.cos(t), r*sp.sin(t)])
G = sp.Matrix([ x**2 + y**2 ])

# Calculamos (y mostramos) las matrices jacobianas asociadas a F y G
jac_F = F.jacobian([r,t])
display(jac_F)

jac_G = G.jacobian([x,y])
display(jac_G)

# Calculamos la jacobiana de la composición como producto de matrices
jac_GoF = jac_G.subs({x:r*sp.cos(t),y:r*sp.sin(t)})*jac_F
display(sp.simplify(jac_GoF))

\[\begin{split}\displaystyle \left[\begin{matrix}\cos{\left(t \right)} & - r \sin{\left(t \right)}\\\sin{\left(t \right)} & r \cos{\left(t \right)}\end{matrix}\right]\end{split}\]

\[\displaystyle \left[\begin{matrix}2 x & 2 y\end{matrix}\right]\]

\[\displaystyle \left[\begin{matrix}2 r & 0\end{matrix}\right]\]

3.5.5. Derivación implícita

Como ya aprendimos al comienzo de la Sección Plano tangente y recta normal, es posible que una función venga dada implícitamente. Por ejemplo, la función de una variable \(y = f(x)\) puede venir determinada por la expresión \(y^3 + y^2 - 5y - x^2 = -4\). Aunque no conozcamos su expresión explícita podemos fácilmente calcular las derivadas de las variables dependientes en función de las independientes. Os mostramos a continuación cómo hacerlo.

• Funciones con una única variable independiente. Supongamos que existe una única variable independiente, \(x\), y una variable dependiente, \(y\equiv y(x)\). En este caso,

  \[ F(x,y) = 0 \stackrel{\frac{\partial}{\partial x}}{\Longrightarrow} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\frac{\partial y}{\partial x}. \]

  Despejamos en la anterior expresión, teniendo en cuenta que \(\frac{\partial x}{\partial x}=1\), y obtenemos:

  \[ \frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) } { \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) }. \]

• Funciones con dos variables independientes. Si ahora tenemos una relación implícita entre dos variables independientes, \(x\) e \(y\), y una variable que depende de las anteriores, \(z \equiv z(x,y)\), ,

  \[\begin{eqnarray*} F(x,y,z) = 0 &\stackrel{\frac{\partial}{\partial x}}{\Longrightarrow}& \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\frac{\partial x}{\partial x} + \cancel{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) {\color{red} \frac{\partial y}{\partial x}} } + \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \\ & \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z) } { \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) } \\ F(x,y,z) = 0 &\stackrel{\frac{\partial}{\partial y}}{\Longrightarrow}& \cancel{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z){\color{red} \frac{\partial x}{\partial y}} } + \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial y} = 0\\ & \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) } { \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) } \end{eqnarray*}\]

Veamos algún ejemplo.

Example

Calcula \(\dfrac{\partial y}{\partial x}\) a partir de la expresión \(y^3 + y^2 - 5y - x^2 = -4\).

Solución:

Tomando \(F\) tal que \(F(x,y) = 0\), tenemos que

\[ F(x,y) = y^3 + y^2 - 5y - x^2 + 4. \]

Entonces

\[ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) = -2x \quad \textrm{ y } \quad \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) = 3y^2 + 2y - 5. \]

Entonces

\[ \frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} = - \frac{(-2x)}{3y^2 + 2y - 5} = \frac{2x}{3y^2 + 2y - 5}. \]

Vamos a preguntarle a nuestro oráculo, por si nos hemos equivocado.

import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y', real=True) 

F = y**3 + y**2 - 5*y - x**2 + 4 
display(sp.Eq(F,0)) # Aqui está la ec. implícita F(x,y) = 0 

# Cálculo de las derivadas de F respecto x e y
F_x, F_y = sp.diff(F, x), sp.diff(F, y) 

# Utilizamos la fórmula
y_x = - F_x/F_y

print('Derivada implícita con respecto a x: ')
display(y_x)

\[\displaystyle - x^{2} + y^{3} + y^{2} - 5 y + 4 = 0\]

Derivada implícita con respecto a x: 

\[\displaystyle \frac{2 x}{3 y^{2} + 2 y - 5}\]

Ya por último vamos a resolver directamente con sympy un ejemplo con dos variables independientes (te queda como ejercicio comprobar que sympy no se equivoca).

Example

Calcular \(\frac{\partial z}{\partial x}\) y \(\frac{\partial z}{\partial y}\) a partir de la expresión \(\cos(x^2 z)+\sin(y^2 z) + z^2 = 0\).

import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z', real=True) 

F = sp.cos(x**2 * z) + sp.sin(y**2 * z) + z**2 
display(sp.Eq(F,0)) # Aqui está la ec. implícita F(x,y) = 0 

# Cálculo de las derivadas de F respecto x, y, z
F_x, F_y, F_z = sp.diff(F, x), sp.diff(F, y), sp.diff(F,z) 

# Utilizamos las fórmulas
z_x = - F_x/F_z
z_y = - F_y/F_z

print('Derivada implícita con respecto a x: ')
display(z_x)
print('Derivada implícita con respecto a y: ')
display(z_y)

\[\displaystyle z^{2} + \sin{\left(y^{2} z \right)} + \cos{\left(x^{2} z \right)} = 0\]

Derivada implícita con respecto a x: 

\[\displaystyle \frac{2 x z \sin{\left(x^{2} z \right)}}{- x^{2} \sin{\left(x^{2} z \right)} + y^{2} \cos{\left(y^{2} z \right)} + 2 z}\]

Derivada implícita con respecto a y: 

\[\displaystyle - \frac{2 y z \cos{\left(y^{2} z \right)}}{- x^{2} \sin{\left(x^{2} z \right)} + y^{2} \cos{\left(y^{2} z \right)} + 2 z}\]