Regla de la cadena
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3.5. Regla de la cadena#
3.5.1. Matriz jacobiana y regla de la cadena#
La noción de matriz jacobiana, junto con la de regla general de la cadena, nos va a permitir calcular las derivadas parciales de una composición de funciones diferenciables.
Theorem (Diferenciabilidad de una función compuesta)
Sean \(\mathbf{F}: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) y \(G: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}\) dos funciones tales que \(\mathbf{F}(D) \subset \mathbb{R}^m\). Sea \(\mathbf{a} \in D\) tal que \(\mathbf{F}\) es diferenciable en \(\mathbf{a}\) y \(G\) es diferenciable en \(\mathbf{F}(\mathbf{a})\). Entonces la función compuesta \(G \circ \mathbf{F}\) es diferenciable en \(\mathbf{a}\) y a partir de la regla general de la cadena se tiene:
donde \(\mathrm{J}G = \left[\frac{\partial G}{\partial \overline{x}_{1}}, \frac{\partial G}{\partial \overline{x}_{2}}, ... , \frac{\partial G}{\partial \overline{x}_{m}}\right]\) es la matriz jacobiana de \(G\), y
es la matriz jacobiana de \(\mathbf{F}\).
NOTA 1: Recuerda que para una función \(G: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}\), la matriz jacobiana es igual a la transpuesta del gradiente. Por tanto, a partir de la igualdad anterior, tenemos que
NOTA 2: La regla de la cadena para el caso multivariable es una generalización de la regla de la cadena para una variable. Si \(n = m = 1\), tal que \(a \in \mathbb{R}\), \(\mathbf{F}: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), entonces
Aunque no lo haremos así, os dejamos un par de remarks, por si lo veis en algún libro y os llama la atención:
Remark (Regla de la cadena para una variable independiente)
Sea \(w = G(x_1,x_2,...,x_m)\), donde \(G\) es una función diferenciable de las \(m\) variables \(x_1, x_2, ... , x_m\). Si cada una de las \(x_j = F_j(t)\) es una función diferenciable de \(t\), entonces \(w\) es una función diferenciable de \(t\), y
Remark (Regla de la cadena para dos variables independientes)
Sea \(w = G(x_1,x_2,...,x_m)\), donde \(G\) es una función diferenciable de las \(m\) variables \(x_1, x_2, ... , x_m\). Si cada una de las \(x_j = F_j(s,t)\) es una función diferenciable de \(s\) y \(t\), entonces \(w\) es una función diferenciable de \(s\) y \(t\), y
3.5.2. Ejemplo una variable#
Consideramos la composición de funciones:
Vamos a calcular el jacobiano de esta composición. Recordemos que
Vamos a calcular cada uno de los factores de este producto:
El segundo factor es:
entonces:
Y, por lo tanto,
Ya estaría, pero vamos a hacerlo por otro camino: vamos a construir explícitamente la función composición y a derivarla:
y, derivando directamente,
¡¡Da lo mismo de las dos maneras!! I can’t believe it!!
3.5.3. Ejemplo de dos variables#
Consideramos la composición de funciones:
Vamos a calcular el jacobiano de esta composición. Recordemos que
Vamos a calcular cada uno de los factores de este producto:
El segundo factor es:
Entonces:
Y, por lo tanto,
Como en el ejemplo anterior, vamos a construir explícitamente la función composición y a calcular su jacobiano:
y, derivando directamente,
Again… ¡¡Da lo mismo!! ¡¡GUAU, GUAU, GUAUUUU!!
3.5.4. Jacobiano de la composición de funciones con sympy
#
Retomamos este último ejemplo para resolverlo ayudados por sympy
. A ver si vuelve a dar lo mismo… aunque ya sería mucha suerte, ¿no?
import sympy as sp
x, y, r, t = sp.symbols('x y r t', real=True)
# Definimos las funciones F y G como matrices
F = sp.Matrix([r*sp.cos(t), r*sp.sin(t)])
G = sp.Matrix([ x**2 + y**2 ])
# Calculamos (y mostramos) las matrices jacobianas asociadas a F y G
jac_F = F.jacobian([r,t])
display(jac_F)
jac_G = G.jacobian([x,y])
display(jac_G)
# Calculamos la jacobiana de la composición como producto de matrices
jac_GoF = jac_G.subs({x:r*sp.cos(t),y:r*sp.sin(t)})*jac_F
display(sp.simplify(jac_GoF))
3.5.5. Derivación implícita#
Como ya aprendimos al comienzo de la Sección Plano tangente y recta normal, es posible que una función venga dada implícitamente. Por ejemplo, la función de una variable \(y = f(x)\) puede venir determinada por la expresión \(y^3 + y^2 - 5y - x^2 = -4\). Aunque no conozcamos su expresión explícita podemos fácilmente calcular las derivadas de las variables dependientes en función de las independientes. Os mostramos a continuación cómo hacerlo.
Funciones con una única variable independiente. Supongamos que existe una única variable independiente, \(x\), y una variable dependiente, \(y\equiv y(x)\). En este caso,
\[ F(x,y) = 0 \stackrel{\frac{\partial}{\partial x}}{\Longrightarrow} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\frac{\partial y}{\partial x}. \]Despejamos en la anterior expresión, teniendo en cuenta que \(\frac{\partial x}{\partial x}=1\), y obtenemos:
\[ \frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) } { \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) }. \]Funciones con dos variables independientes. Si ahora tenemos una relación implícita entre dos variables independientes, \(x\) e \(y\), y una variable que depende de las anteriores, \(z \equiv z(x,y)\), ,
\[\begin{eqnarray*} F(x,y,z) = 0 &\stackrel{\frac{\partial}{\partial x}}{\Longrightarrow}& \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\frac{\partial x}{\partial x} + \cancel{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) {\color{red} \frac{\partial y}{\partial x}} } + \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial x} = 0 \\ & \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z) } { \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) } \\ F(x,y,z) = 0 &\stackrel{\frac{\partial}{\partial y}}{\Longrightarrow}& \cancel{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z){\color{red} \frac{\partial x}{\partial y}} } + \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\frac{\partial z}{\partial y} = 0\\ & \Rightarrow & \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z) } { \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) } \end{eqnarray*}\]
Veamos algún ejemplo.
Example
Calcula \(\dfrac{\partial y}{\partial x}\) a partir de la expresión \(y^3 + y^2 - 5y - x^2 = -4\).
Solución:
Tomando \(F\) tal que \(F(x,y) = 0\), tenemos que
Entonces
Entonces
Vamos a preguntarle a nuestro oráculo, por si nos hemos equivocado.
import sympy as sp
x, y = sp.symbols('x y', real=True)
F = y**3 + y**2 - 5*y - x**2 + 4
display(sp.Eq(F,0)) # Aqui está la ec. implícita F(x,y) = 0
# Cálculo de las derivadas de F respecto x e y
F_x, F_y = sp.diff(F, x), sp.diff(F, y)
# Utilizamos la fórmula
y_x = - F_x/F_y
print('Derivada implícita con respecto a x: ')
display(y_x)
Derivada implícita con respecto a x:
Ya por último vamos a resolver directamente con sympy
un ejemplo con dos variables independientes (te queda como ejercicio comprobar que sympy
no se equivoca).
Example
Calcular \(\frac{\partial z}{\partial x}\) y \(\frac{\partial z}{\partial y}\) a partir de la expresión \(\cos(x^2 z)+\sin(y^2 z) + z^2 = 0\).
import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z', real=True)
F = sp.cos(x**2 * z) + sp.sin(y**2 * z) + z**2
display(sp.Eq(F,0)) # Aqui está la ec. implícita F(x,y) = 0
# Cálculo de las derivadas de F respecto x, y, z
F_x, F_y, F_z = sp.diff(F, x), sp.diff(F, y), sp.diff(F,z)
# Utilizamos las fórmulas
z_x = - F_x/F_z
z_y = - F_y/F_z
print('Derivada implícita con respecto a x: ')
display(z_x)
print('Derivada implícita con respecto a y: ')
display(z_y)
Derivada implícita con respecto a x:
Derivada implícita con respecto a y: