2.4. Boletín 1: Vectores y geometría del espacio#

Este boletín contiene una selección modificada de los problemas que aparecen recogidos en las secciones 13.1 y 13.2 (capítulo 13) del libro de R. Larson y B.H. Edwards, Cálculo de 2 variables, 10a, McGraw-Hill, 2016.

[1] Describe el dominio y el rango de las siguientes funciones:

  1. \(g(x,y) = x\sqrt{y}\),

  2. \(h(x,y) = \arccos(x+y)\),

  3. \(s(x,y) = \ln(xy-6)\),

  4. \(u(x,y) = \dfrac{-4x}{x^2+y^2+1}\).

[2] Dibuja las curvas de nivel para los valores indicados de la constante \(c\) en los siguientes casos. Hazlo sobre papel y, también, utilizando la función contour de matplotlib.pyplot, como se muestra en la Sección 2.1.3 del presente Jupyter Book.

  1. \(z = x^2+4y^2\), \(c=0\), \(2\), \(4\), \(6\),

  2. \(f(x,y) = xy\), \(c=\pm 1\), \(\pm 2\), \(\pm 3\), \(\pm 4\),

  3. \(g(x,y) = \dfrac{x}{x^2+y^2}\), \(c=\pm \frac{1}{2}\), \(\pm 1\), \(\pm 2\),

  4. \(h(x,y) = \ln(x-y)\), \(c=0\), \(c=\pm \frac{1}{2}\), \(\pm 1\),

  5. \(p(x,y) = \dfrac{y}{x^2}\), \(c=0\), \(c=\pm 1\), \(\pm 2\),

  6. \(s(x,y) = 1-|x| - |y|\), \(c=0\), \(c=\pm \frac{1}{2}\), \(\pm 1\), \(\pm 2\).

[3] Razona si son correctas las siguientes afirmaciones:

  1. Si \(f\left(x_{0}, y_{0}\right) = f\left(x_{1}, y_{1}\right)\) entonces \(x_{0}=x_{1}\) e \(y_{0}=y_{1}\).

  2. Si \(f\) es una función entonces \(f(ax,ay) = a^2 f(x,y)\).

  3. Una recta vertical puede cortar a la gráfica de \(z=f(x,y)\) como mucho en un solo punto.

  4. Dos curvas de nivel diferentes de la gráfica \(z=f(x,y)\) pueden intersecarse.

[4] Calcula el límite en el punto indicado y analiza la continuidad en el mismo punto de las siguientes funciones:

  1. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,2)} \dfrac{x}{y},\]
  2. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)} \dfrac{x}{\sqrt{x+y}},\]
  3. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)} \dfrac{\arcsin(xy)}{1-xy},\]
  4. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(2\pi,4)} \sin\left(\dfrac{x}{y}\right).\]

[5] Calcula el límite, si existe, y, si no es así, explica el motivo:

  1. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,1)} \dfrac{xy-1}{1+xy},\]
  2. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^4-4y^4}{x^2+2y^2},\]
  3. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}},\]
  4. \[\displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \dfrac{xy+yz^2+xz^2}{x^2+y^2+z^2},\]
  5. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\]
  6. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2},\]
  7. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\cos\left(\dfrac{1}{xy}\right),\]
  8. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2y^2}{x^2y^2+\left(x-y\right)^2},\]

[6] Calcula los siguientes límites. Es muy posible que tengas que usar coordenadas polares o esféricas y la regla de l’Hôpital. Y, ya de paso, comprueba tus cálculos usando sympy, tal como se hace en la Sección 2.2.4.

  1. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy^2}{x^2+y^2},\]
  2. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}},\]
  3. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2},\]
  4. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(x^2+y^2\right)\ln\left(x^2+y^2\right),\]
  5. \[\displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \dfrac{xyz}{x^2+y^2},\]
  6. \[\displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \arctan\left(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}\right),\]
  7. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{\cos\left(x^2+y^2\right)-e^{x^2+y^2}}{\sin\left(x^2+y^2\right)},\]
  8. \[\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}.\]

[7] Analiza la continuidad de las siguientes funciones respecto al valor del parámetro constante \(a\):

  1. \[\begin{split}f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^4-y^4}{x^2+y^2} & \quad \mbox{si}\; (x,y)\neq(0,0), \\ a & \quad \mbox{si}\; (x,y)=(0,0),\end{array}\right.\end{split}\]
  2. \[\begin{split}f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{4x^2y^2}{x^2+y^2} & \quad \mbox{si}\; (x,y)\neq(0,0), \\ a & \quad \mbox{si}\; (x,y)=(0,0),\end{array}\right.\end{split}\]
  3. \[\begin{split}f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^2+2xy^2+y^2}{x^2+y^2} & \quad \mbox{si}\; (x,y)\neq(0,0), \\ a & \quad \mbox{si}\; (x,y)=(0,0),\end{array}\right.\end{split}\]
  4. \[\begin{split}f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\sin(xy)}{xy} & \quad \mbox{si}\; xy\neq 0, \\ a & \quad \mbox{si}\; xy=0,\end{array}\right.\end{split}\]
  5. \[\begin{split}f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{\sin\left(x^2-y^2\right)}{x^2-y^2} & \quad \mbox{si}\; x^2\neq y^2, \\ a & \quad \mbox{si}\; x^2=y^2,\end{array}\right.\end{split}\]
  6. \[f(x,y,z) = \frac{z}{x^2+y^2+a}.\]

[8] Dada la función

\[f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},\]

definir \(f(0,0)\) de manera que \(f\) sea continua en el origen de coordenadas.

[9] Consideramos la siguiente función

\[\begin{split}f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^2+y^2}{\alpha\ln\left(x^2+y^2+1\right)}+\beta x & \quad \mbox{si}\; x\neq 0\; \mbox{e}\; y\neq 0, \\ \gamma & \quad \mbox{si}\; x=0\; \mbox{o}\; y=0,\end{array}\right.\end{split}\]

siendo \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\in\mathbb{R}\). Obtén los valores de estas constantes para que se verifiquen las siguientes propiedades (todas a la vez, por supuesto):

  1. El punto \((1,0)\) pertenece a la curva de nivel \(1\) de \(f\),

  2. la función \(f\) es continua en el punto \((0,0)\) y

  3. la función \(f\) es continua en el punto \((1,0)\).