Continuidad
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2.3. Continuidad#
2.3.1. Continuidad para funciones de dos variables#
Definition (Definición de continuidad de una función de dos variables)
Sea \(D \subset \mathbb{R}^2\), \((x_0,y_0) \in D\). Diremos que \(f\) es continua en el punto \((x_0,y_0)\) si y sólo si existe el límite en ese punto y es igual al valor de la función en el mismo. Es decir,
Diremos que la función \(f\) es continua si y sólo si es continua en todos los puntos de \(D\).
Por lo tanto, la función \(f\) es discontinua cuando no es continua en al menos un punto de \(D\). Hay dos tipos de discontinuidades: evitable e inevitable.
La función \(f\) tiene una discontinuidad evitable en \((x_0,y_0)\) si existe \(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y)\) y se cumple alguna de las siguientes condiciones:
no existe \(f(x_0,y_0)\), o
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) \neq f(x_0,y_0)\).
La función \(f\) tiene una discontinuidad inevitable en \((x_0,y_0)\) si no existe \(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y)\).
Example
La función \(\displaystyle f(x,y) = \frac{5x^2y}{x^2+y^2}\) tiene una discontinuidad evitable en \((0,0)\). Como el límite en ese punto existe, se puede eliminar esa discontinuidad redefiniendo \(f\) como:
\[\begin{split} \hat{f}(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{5x^2y}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y)\neq(0,0),\\ 0 & \text{si } (x,y)=(0,0). \end{cases} \end{split}\]La función \(\displaystyle f(x,y) = \left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)^2\) no es continua en \((0,0)\), y esta discontinuidad es inevitable (reto: ¿por qué?).
Property (Operaciones con funciones de varias variables )
Sean \(f, g: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) funciones continuas en un punto \((x_0,y_0) \in D\). Entonces las siguientes funciones también son continuas en \((x_0,y_0)\):
Múltiplo escalar: \(\lambda f\), \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\).
Suma y diferencia: \(f \pm g\).
Producto: \(fg\).
Cociente: \(\dfrac{f}{g}\), si \(g(x_0,y_0) \neq 0\).
Theorem (Continuidad de una función compuesta)
Sean \(f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) y \(g: E \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dos funciones tales que \(f(D) \subset E\). Sea \((x_0,y_0) \in D\) tal que \(f\) es continua en \((x_0,y_0)\) y \(g\) es continua en \(f(x_0,y_0)\). Entonces la función compuesta \((g \circ f)(x,y) = g(f(x,y))\) es continua en \((x_0,y_0)\). Es decir,
Estos resultados teóricos son muy útiles, pues a partir de ellos se obtiene la continuidad de polinomios y funciones racionales de varias variables. Además, establecen la continuidad de otro tipo de funciones conocidas.
Por ejemplo, a partir de ellos es inmediato probar que las funciones \(\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{2}\sin(x^2+y^2)\) y \(\displaystyle g(x,y) = \cos(y^2)e^{-\sqrt{x^2+y^2}}\) son continuas.
Vamos a utilizar Python para visualizar sus representaciones gráficas.
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib as mp
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
x, y = sp.symbols('x, y', real=True) # definimos las variables simbólicas x e y
# f = sp.lambdify((x,y),sp.sin(x**2 + y**2)/2) # función NumPy de f
# f = sp.lambdify((x,y), (x-2*y)/(x**2+y**2))
f = sp.lambdify((x,y), ((x**2-y**2)/(x**2+y**2))**2)
g = sp.lambdify((x,y),sp.cos(y**2)*sp.exp(-sp.sqrt(x**2+y**2))) # función NumPy de g
# Inicialización de la representación 3D
fig = plt.figure(figsize=plt.figaspect(0.4))
ax1, ax2 = fig.add_subplot(1, 2, 1, projection='3d'), fig.add_subplot(1, 2, 2, projection='3d')
# Creación de la nube de puntos (x,y) en [-2,2]x[-2,2] (100 puntos en cada eje, x e y)
xx, yy = np.linspace(-2, 2, 100), np.linspace(-2, 2, 100)
xx, yy = np.meshgrid(xx, yy)
ff, gg = f(xx,yy), g(xx,yy)
# Representación de f
ax1.plot_surface(xx, yy, ff, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm, antialiased=False)
ax1.set_xlabel('x'), ax1.set_ylabel('y'), ax1.set_zlabel('z'), ax1.set_zlim([-1,1])
# Representación de g
ax2.plot_surface(xx, yy, gg, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm, antialiased=False)
ax2.set_xlabel('x'), ax2.set_ylabel('y'), ax2.set_zlabel('z'), ax2.set_zlim([-1,1])
plt.show()
¡Sigamos practicando!
Example
Analiza la continuidad de
\(\displaystyle f(x,y) = \frac{x-2y}{x^2+y^2}\),
\(\displaystyle g(x,y) = \frac{2}{y-x^2}\).
Solución:
Las funciones racionales \(f\) y \(g\) son continuas, excepto en los puntos en los que el denominador es \(0\). Estos puntos son los dados, respectivamente, por las ecuaciones:
\(\displaystyle x^2+y^2 = 0\). Lo que implica que \(f\) es continua en cada punto del plano \(XY\), excepto en el origen, \((0,0)\).
\(\displaystyle y-x^2 = 0\). Lo que implica que \(g\) es continua en todos los puntos, excepto en los situados sobre la parábola \(y = x^2\).
2.3.2. Continuidad para funciones de tres variables#
Definition (Definición de continuidad de una función de tres variables)
Sea \(D \subset \mathbb{R}^3\), \((x_0,y_0,z_0) \in D\). Diremos que \(f\) es continua en el punto \((x_0,y_0,z_0)\)
si y sólo si existe el límite en ese punto y es igual al valor de la función en el mismo. Es decir,
Diremos que la función \(f\) es continua si y sólo si es continua en todos los puntos de \(D\).
¡A practicar!
Example
Analiza la continuidad de la siguiente función:
Solución:
La función \(f\) es continua excepto en los puntos en los que el denominador es \(0\), que son los dados por la ecuación:
así que \(f\) es continua en cada punto del espacio, excepto en los puntos del paraboloide elíptico