1.9. Boletín 1: Vectores y geometría del espacio#

Este boletín contiene una selección modificada de los problemas que aparecen en el capítulo 11 (pág. 829-830) del libro de R. Larson y B.H. Edwards, Cálculo de 2 variables, 10a, McGraw-Hill, 2016.

[1] Determina si \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas en los siguientes casos:

  1. \(\mathbf{u} = (7,-2, 3)^{t}\), \(\mathbf{v}=(-1,4,5)^{t}\).

  2. \(\mathbf{u} = (-4,3, -6)^{t}\), \(\mathbf{v}=(16,-12,24)^{t}\).

[2] Sean \(\mathbf{u} = (-3,2,0)\) y \(\mathbf{v} = (2,1,0)\). Comprueba, utilizando numpy, si te hace falta, que la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales del paralelogramo determinado por los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados. Demuestra que esta propiedad es cierta en general (para cualquier par de vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\)).

[3] Sean \(\mathbf{u} = \vec{PQ}\) y \(\mathbf{v} = \vec{PR}\). Calcula las componentes de \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\), \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\), el ángulo que forman \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\), los vectores unitarios en estas direcciones, un vector unitario ortogonal a esos dos vectores y las proyecciones de \(\mathbf{u}\) sobre \(\mathbf{v}\) y de \(\mathbf{v}\) sobre \(\mathbf{u}\) en los siguientes casos:

  1. \(P=(5,0,0)\), \(Q=(4,4,0)\), \(R=(2,0,6)\) (coordenadas cartesianas).

  2. \(P=(2,-1,3)\), \(Q=(0,5,1)\), \(R=(5,5,0)\) (coordenadas cartesianas).

[4] Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene por vértices los puntos \(P=(2,0,3)\), \(Q=(4,1,3)\), \(R=(4,0,4)\) y \(S=(2,-1,5)\), en coordenadas cartesianas, siendo \(\vec{PQ}\), \(\vec{PR}\) y \(\vec{PS}\) tres de sus aristas.

Construye una function en numpy que reciba cuatro puntos en coordenadas cartesianas arbitrarias, \(P\), \(Q\), \(R\) y \(S\), y calcule el volumen de tal paralelepípedo. Pruébala con el ejemplo anterior.

[5] Convierte los siguientes puntos y expresiones al sistema de coordenadas que se indique:

  1. El punto de coordenadas cartesianas \((-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 2)\) en coordenadas cilíndricas y esféricas.

  2. El punto de coordenadas cilíndricas \((100, -\pi/6, 50)\) en coordenadas esféricas y cartesianas.

  3. La expresión \(x^2 - y^2 = 2z\) en coordenadas cilíndricas y esféricas.

  4. La expresión \(x^2 + y^2 + z^2 = 16\) en coordenadas cilíndricas y esféricas.

  5. La expresión \(x^2 -x + y^2 - y = 0\) en coordenadas cilíndricas y esféricas.

  6. La expresión \(r = 5\cos\theta\) en coordenadas cartesianas.

  7. La expresión \(\theta = \pi/4\) en coordenadas cartesianas.

  8. La expresión \(\rho = 3\cos\phi\) en coordenadas cartesianas.

  9. La expresión \(r = \frac{2}{1-\cos\theta}\) en coordenadas cartesianas.

[6] Calcula la ecuación cartesiana de las siguientes esferas. Pasa estas ecuaciones a coordenadas esféricas, ayudándote de sympy.

  1. Centro \((3,-2,6)\) y diámetro \(15\).

  2. La esfera que incluye un diámetro con extremos en \((0,0,4)\) y \((4,6,0)\).

[7] Pasa las siguientes ecuaciones de esferas a su forma estándar (completando el cuadrado) para obtener su radio y su centro:

  1. \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 4 = 0\).

  2. \(x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 6y - 4z + 34 = 0\).

[8] Encuentra dos curvas generadoras diferentes de las siguientes superficies de revolución:

  1. \(y^2 + z^2 - 4x = 0\).

  2. \(x^2 + 2y^2 + z^2 = 3y\).

  3. \(x^2 + y^2 = 4z^2\).

[9] Determina la ecuación de la superficie de revolución generada al rotar

  1. La curva \(z^2 = 2y\) en el plano \(YZ\) alrededor del eje \(Y\).

  2. La curva \(2x + 3z = 1\) en el plano \(XZ\) alrededor del eje \(X\).

  3. La curva \(y^2 + (z-1)^2 = 1\) en el plano \(YZ\) alrededor del eje \(Z\).